【摘要】本文在有关含参量正常积分“累次积分与求积顺序无关” 定理的证明中，对引进的二元辅助函数的连续性未给出证明，本文用两种方法对此结论给出了证明。
【关键词】含参量正常积分；累次积分；连续性
0 引言
在有关含参量正常积分“累次积分与求积顺序无关” 定理的证明中，对引进的二元辅助函数的连续性未给出证明，很多学生对此结论的正确性也没去验证，本人分别用二元函数连续的定义和一道课后习题对此结论给出了两种证明。
定义1[1] 设f为定义在点集D？奂上的二元函数，（它或者是D的聚点，或者是D的孤立点）。对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要，就有：
则称f关于集合D在点P连续。若f在D上任何点都关于集合D连续，则称f为D上的连续函数。
定义2[1] 设f为定义在点集D？奂R上的二元函数，对于任给的正数ε，总存在只依赖于ε的正数δ，使得对D上一切点P，Q，只要ρ（P，Q）<δ，就有：
则称f在D上一致连续。
1 引理和结论
引理1[2] 设f（x，y）定义在闭矩形S=[a，b]×[c，d]上，若f对y在[c，d]上处处连续，对x在[a，b]上（且关于y）为一致连续，则f在S上处处连续。
引理2[1] 若f（x，y）在闭矩形R=[a，b]×[c，d]上连续，则：
引理2就是“累次积分与求积顺序无关” 定理。对其证明过程中引入的辅助函数的连续性就是本文要证明的定理。
引理3[1] 若f函数在有界闭域D？奂上连续，则f在D上有界，且能取得最大值与最小值。
引理4[1] 若f（x，y）在闭矩形R=[a，b]×[c，d]上连续，则在[a，b]上连续。
引理5[1] 若f函数在有界闭域D？奂上连续，则f在D上一致连续。
定理[1] 若f（x，y）在闭矩形R=[a，b]×[c，d]上连续，则在R上连续。
2 定理的证明
证法1 因为f（x，y）在闭矩形R=[a，b]×[c，d]上连续，由引理3，存在M>0，使得对于任意的（x，y）∈R，有f（x，y） 所以，H（u，y）对u在[a，b]上（且关于y）为一致连续。 另外由引理4，H（u，y）对y在[c，d]上处处连续。 因为f（x，y）在R上连续，由引理3从而f（x，y）在R上有界，即存在M>0，对于任意的（x，y）∈R，有f（x，y） 【参考文献】 [1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].4版.北京：高等教育出版社，2011. [2]任亲谋.数学分析习题解析华东师大第三版（下册）[M].西安：陕西师范大学出版社，2005. [3]北京大学数学科学学院.数学分析解题指南[M].北京：北京大学出版社，2006. [责任编辑：王静]