【摘要】2014年秋季使用的新教材五年级上册第三单元，顺应学生的学习需求，调整教材编排内容，更适合教学实际；重视数学模型建构，渗透数学基本思想.以问题为导向，促使学生形成“列举—观察—猜想—验证—结论”的模型构建，体现了“新教材”创导的“从头至尾”思考问题的过程，注重培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力.借助动手操作活动，强化概念学习的过程性.将抽象的概念教学转换成用点子图、小正方形拼长方形的实践操作活动.给予学生充足的时间，在活动中逐渐积累直观经验，初步体会到倍数与因数、质数与合数的“形”的方面的特点，进而通过课堂上的展示、交流等活动，引发学生进行数学思考，逐步发现规律，沟通数与形的联系，从而加深对倍数与因数、质数和合数概念内涵的认识.
【关键词】倍数与因数质数和合数操作模型活动
从2014年秋季我们就要使用根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新课标”）修订后的教材（以下简称“新教材”）.新教材与实验教材（以下简称“原教材”）有什么区别，主要的变化有哪些，新教材的编写特点有哪些，教学中又该如何理解与把握.下面笔者就对北师大版五年级上册第三单元“倍数与因数”谈一下自己的一些认识与想法.
一、顺应学生的学习需求，调整教材编排内容
（1）本单元教材沿用新教材新的编写体例：“情境+问题串”.每节课都由一个大问题（即主题）情境统领全课，再以若干个小问题贯穿全课内容，且问题梯度设置层层深入.
（2）教学内容减少，难度降低.原教材本单元有6节课，新教材变为5节课（单元练习除外），数量上看减少了1节课，删去了原教材中一节“奇偶性”，只保留奇数、偶数和差性质的判断，而且作为练习题呈现的.将用奇偶性解决实际问题的内容删去不讲了，降低了教学的难度.“倍数与因数”一节内容也有变化，删去“数的世界”内容，留下倍数与因数的内容，并以“倍数与因数”作为课题，凸显本节课的主题.调整后的教材更贴近学生的认知水平.
（3）每节课后练习题分层设计，数量适当增加. “练一练”中题目从难度上区分有基础练习、提高练习、解决问题类的实际应用，各类型的习题每课都有.课后习题最多的有6道，最少的有4道，单元综合练习11道，从数量上看比原教材增加了不少.为了适应不同学生的需求，习题中拓展题由原来的3道增加为7道.
（4）渗透数学文化教育的“你知道吗”板块有所更新.虽然从数量上看仍是2个，但内容发生变化.保留了原教材中有关找合数的“筛数”资料.将原教材中有关“哥德巴赫猜想”的内容调整到单元复习的“练习四”中，作为一道数学阅读题出现.新增加学生比较感兴趣的有关“质数与密码学”的资料，体现数学与生活密切相关，也为教材增添了时代元素.
二、重视数学模型建构，渗透数学基本思想
本单元在编写2、3、5倍数特征时，仍然保留原教材的思路，将此内容设计成学生的探究活动.修订前后情境变化不大，新教材不同于原教材最大的地方是问题串的设计，以问题为导向，促使学生形成“列举—观察—猜想—验证—结论”的模型构建，体现了新教材创导的“从头至尾”思考问题的过程，注重培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力.
例如“探索活动：2，5的倍数的特征”一课，首先，教材出示百数表，这与原教材的情境基本相同.百数表这个材料是有结构的，至少有两个方面：一是10个数一行整齐排列，便于学生找到2，5的倍数的排列规律，利于学生找到2，5倍数的特征；二是将找倍数的范围限制在100以内，且都是自然数，将0排除在外，这与前一课“倍数与因数”中规定的研究范围相吻合.数字小，范围小，学生就能迅速找到2，5的倍数，降低学生探究的难度，增加学生的成功感.
其次，教材出示了四个问题.问题1：“在百数表中圈出5的倍数，你发现了什么？”这个问题的目的性很明确，先让学生在百数表中圈记，再说说5的倍数特征.“圈记”的动作过程是学生感知5的倍数特征，“说说特征”的过程是学生语言描述特征，是抽象特征的过程.动作感知是前提，语言抽象是结果，符合学生的认知规律.接着，教材出示淘气与笑笑的对话.淘气说：“5的倍数都在第5列、第10列.”笑笑说：“我发现5的倍数末尾只有0或5.”两个人的说法层次感不一样.淘气的说法是停留在百数表的表格中，是观察表面现象.笑笑的观点才是脱离表格，触及问题本质的说法.编写意图就是提醒教师注意教学中要引导学生看问题要由表及里，要由感性认识上升到理性认识.
问题2：“你能向同伴解释一下你的发现吗？”编者意图一是让学生相互交流自己的发现，二是完善总结自己的发现，三是验证自己的发现.教材出示的淘气、笑笑的计算的画面，就是验证自己的发现.淘气使用5的乘法口诀来验证，一是简单，二是利用学生已知经验，让学生明白利用5的乘法口诀算出的数就是5的倍数.二年级时就学过，只是没有这样说.笑笑的验证是在更大的范围内验证结论是否成立，方法是利用乘法运算，给一个自然数乘5，保证得出的数肯定是5的倍数，再来看个位数特征.学生相互交流，相互学习，不断完善自己的观点，这个过程体现新课程同伴互助的理念.智慧老人的话语就是以规范性语言总结学生探究所形成的结论，给学生作出示范.
问题3：“从上表中找出2的倍数，说说这些数有什么特征.”编者意图一是让学生回顾总结探究5的倍数特征的方法，二是让学生用此研究方法来解决新问题，再次经历探究的过程.
最后，教材编写“认一认”，描述性给出奇数、偶数的概念.奇、偶数的意义学生并不陌生，从一年级开始学生就认识单、双数，这里就是利用学生的已有知识、2的倍数特征来重新认识单、双数，水到渠成，建立起新的概念.
回顾这节课的编排设计，先是让学生探究5的倍数特征，再利用形成的方法策略探究2的倍数特征.教材这样编排，由易到难，循序渐进.5的倍数特征在百数表中比较2的倍数特征更明显，容易发现.另外，教材中3个问题，引导学生探究5的倍数特征，就是让学生经历“列举—观察—猜想—验证—结论”的过程，帮助学生形成研究问题、解决问题的一般方法和策略.有了这个方法，学生探究2的倍数特征就变得容易许多.这节课的两个探究活动，看似重复，实则递进.学生不仅收获知识，更重要的收获数学的方法和思想.
“3的倍数特征”一课基本与前一课相同，不同之处是学生经历两次探究过程.由“2，5的倍数特征”到“3的倍数特征”，学生的认识要经历一个思维跨越.学生受思维定势的影响，在观察3的倍数特征时，可能认为3的倍数特征与个位有关，经过验证，发现猜想不能成立.这样就引发学生认知冲突，激发学生求知欲望.教材在这里采用分步提示的策略，降低教学难度.教材给出一个百数表，但与前一课有些变化，也不同于原教材.直接圈出一些3的倍数，而且规则排列，如3，12，21斜行排列，6，15，24，33，42，51斜行排列等.每一斜行数的数字之和相等，如3，12，21斜行数字之和为3；6，15，24，33，42，51斜行数字之和为6.这样，学生就能直观感知3的倍数特征.其次，智慧老人的话语对3的倍数特征做出提示性总结.最后，笑笑、淘气的话引导学生对结论进行验证.这样就促使学生经历“再观察—再猜想—再验证—得出结论”二次探究的过程.
纵观这两节课，教材都是按“发现问题—分析问题—解决问题”的活动形式编排，目的是让学生经历知识的探究过程，构建“列举—观察—猜想—验证—结论”的数学方法模型，感悟数学建模思想.三、借助动手操作活动，强化概念学习的过程性“倍数与因数、质数与合数”是数论中最基本、最重要的基本概念.因为数论的概念比较抽象，与学生的实际生活较远，所以学生理解起来存在一定的困难.但教材在编写这部分知识时，将抽象的概念教学转换成用点子图、小正方形拼长方形的实践操作活动.给予学生充足的时间，在活动中逐渐积累直观经验，初步体会到倍数与因数、质数与合数的“形”的方面的特点，进而通过课堂上的展示、交流等活动，引发学生的数学思考，逐步发现规律，沟通数与形的联系，从而加深对倍数与因数、质数和合数概念内涵的认识.
“倍数与因数”一课，新教材与原教材有很大的变化，删去“数的世界”内容，由以计算总价问题引出乘法算式的形式，改为动手操作，数形结合教学倍数与因数.首先，教材创设用点子图表示全班学生的队形、人数，提出计算各班人数的问题情境.这样编排，一是让学生经历画图，动手操作，得出一个乘法算式“9×4=36”，为研究倍数与因数提供图形的直观模型.二是9，4，36这三个数字在此情境中具有实际意义，9是每行人数，4是行数，36是总人数，这些都是自然数，而且是非0自然数，这样就把研究的问题限制在非0自然数的范围内.三是渗透倍数与因数的概念还是以“整除”的知识为根基.这里为了降低学生理解的难度，通过操作得出乘法算式（9×4=36），但根据乘法与除法的关系，这个乘法算式可以转化成除法，算式（36÷4=9），且这个除法算式本身就是“整除”的算式.四方面是渗透因数与倍数是互相依从的，没有每行9人或者4行，就不存在总人数36人.从现实意义的角度理解倍数与因数的依从关系，体现数学与生活密不可分.
其次，分两个步骤让学生理解倍数与因数概念的意义.第一步，教材先示范给出倍数与因数的例子：“9×4=36，36是9和4的倍数，9和4是36的因数.”这句话有两个层次，先有9×4=36这个算式，这是前提；后有9，4与36的倍数与因数的关系，这是结果.这里已经由图形中现实意义抽象到数与数之间的倍数与因数的关系，是在感性认识基础上的理性认识，是认识的跨越.第二步，让学生根据算式5×7=35，说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数.目的是让学生再次经历这样的跨越性认识，加深对倍数与因数的理解.教材由操作画图后再得出算式，最后揭示数与数之间的倍数与因数关系.以图理解算式，以算式理解倍数与因数的关系，这样“图—式”结合，让学生经历操作，积累活动经验，在充分感知的基础上体验倍数与因数概念的本质，理解倍数与因数相互依从的关系.
最后，教材给出一些数，让学生找出哪些数是7的倍数，目的是巩固概念.这道练习题脱离了直观算式，让学生找倍数，比上面的题目增加了难度.教材给出两种方法：一种是用乘法算式找，另一种用除法算式找.虽然形式不同，但本质相同.
“找因数”一课，与原教材相比，主题情境变化不大，只是增加了问题串，更利于学生开展探究.首先，教材让学生“用12个小正方形拼成一个长方形，有哪几种拼法？在下面的方格纸上画一画，并与同伴交流.”这里教材编排意图有两点：一是让学生动手操作，摆出面积是12的不同长方形，直观感知12的因数，建立12因数的表象（12的因数就是面积是12的长方形的长、宽）.二是通过学生回答有几种拼法，促使学生思考怎样拼才能不重复、不遗漏.用12个小正方形摆长方形，就要考虑长与宽摆的个数，找长、宽摆的个数就是找12因数的过程.当然有的学生认为2×6的摆法与6×2的摆法是两个不同的长方形，操作就能很好地解决这个问题.可以把两个长方形经过旋转，发现它们重合，证明这两种摆法是一样的，这样动手操作帮助学生形成正确的认识.教材上淘气的话语：“可以拼成‘1×12’‘2×6’和‘3×4’这三种长方形.”可以看出，这三种长方形表示方式非常有序，按照宽是1，2，3的顺序排列，提醒学生思考问题时一定要有顺序.此处教材先给学生提出操作要求，再操作交流.目的是让学生通过操作感知12的因数，体会找因数可以一对一对地找的方法，旨在培养学生有条理思考的习惯.
其次，教材提出问题：“你能找出12的全部因数吗？想一想，试一试.”这是在学生前面操作感知的基础上，抽象形成对12的因数的认识.教材上出示的两组乘法算式与除法算式，说明这两种找因数的方法都是合乎算理的.基于乘法算式认识因数、找因数，又不拘泥于乘法，拓展了学生思维的宽度.其实，从运算的角度看，这两种方法本质是一样的.想除法找因数是新教材增加的内容，这样编排渗透整除的“基因”，让学生更容易理解概念的本质.
最后，教材要求学生找出18的因数，并与同伴交流，目的是巩固找因数的方法，内化知识，加强理解.“找质数”一课，新教材变化不大，基本与原教材相同.首先出示用12个小正方形拼成的3种长方形，接着要求学生用2，3，4，…，12个小正方形分别拼不同的长方形，并完成表格.教材的编写意图是提供一个学习的材料与环境，让学生利用学具去拼摆，通过操作感知质数与合数的不同，利用图形初步建立概念的表象.出示12个小正方形拼成的3种长方形，一是提醒学生探究要用“数形结合”的思想，二是强调每种拼法都可找到12的2个因数，为后面的操作、交流指明方向，埋下伏笔.接着通过学生的拼摆、填表、观察表格、寻找规律、交流互动等活动，建立“只能拼成一种—只有1和它本身两个因数—质数”“还有别的拼法—还有别的因数—合数”这一过程的联系，实现由形到数、由直观到抽象的概念建构过程.
回顾以上三节课，教材都是按“动手操作，充分感知—观察图形，建立表象—概括抽象，理性认识—理解应用，深化认识”这样一个概念形成的路径编排，让学生经历概念形成的过程，在操作中体验，在体验中积累活动经验，让学生在自主学习的过程中“同化”和“顺应”，进而完成概念的自我构建.
其实，“重视数学模型建构”与“借助动手操作”这两个特点并不是孤立的，而是贯穿于整个单元的.在探究2，3，5的倍数特征的部分，教材编写注重学生的动手操作，如让学生在百数表中圈一圈，找一找等，让学生在活动中感知、感悟概念的内涵、本质，强调新课标提倡的“做数学”的理念.在找因数、找质数的编写部分，也渗透“列举—观察—猜想—验证—结论”的数学模型思想.换句话说，操作活动的设计是编排这一单元的一条“明线”，数学模型的建构则是一条“暗线”，这“一明一暗”相互融合、相辅相成，构成这一单元的编写亮点，给我们指出了概念教学的一条新路径.