摘要：在单标的资产价格随机模型的基础上，推导了具相关性的多标的资产价格的随机过程公式，以此构造蒙特卡罗模拟高维欧式期权定价的随机模型，给出模拟算法，并分析了影响蒙特卡罗模拟效果的几个关键因素。模拟算例的结果显示模拟效果较好。
关键词：标的资产；期权定价；蒙特卡罗模拟
中图分类号：O211.6
Assert option pricing using Monte Carlo simulation
Abstract: This paper stochastically deduces the random process expression of correlative multi-assert prices on the foundation of random model of one-assert price .Then based on that ， a multi-dimension European option random model implemented by Monte Carlo simulation is constructed. Accordingly the simulation algorithm and one example on a basket European option are also given in this paper， in addition， analyzing certain key factors of affecting Monte Carlo simulation effects. Lastly the results show that the simulation effect is delectable.
Keywords: assert;option pricing; Monte Carlo simulation
1 引言
期权定价问题历来是金融经济学中的重要研究课题之一。多年来，众多经济学者与研究人员对这一问题进行不断深入的研究。王剑君（2010）假设标的资产价格服从受多维分数布朗运动和泊松过程共同驱动的一类混合模型求出了两种新型期权的定价公式[1]。陈俊霞、蹇明（2006）利用价格过程的实际概率的期权保险精算定价模型得出了标的资产服从几何分数布朗运动的欧式期权定价公式[2]。吴志刚、金朝嵩（2002）将马尔科夫跳跃过程叠加于 Ito过程形成混合过程 ，在标的股价服从混合过程的基础上 ，推导出了欧式看涨期权的定价公式[3]。马超群、陈牡妙（1999）通过对期权的标的资产（以股票为例）的价格行为过程进行分析推导出一种新的期权定价模型[4]。扈文秀等（2005）提出了不可交易标的资产实物期权价值的确定方法——分解法[5]。期权定价方法有解析方法和数值方法，对于标准期权或不是太复杂的衍生证券在一些必要的假设下存在偏微分方程的解析解或称封闭解。但是对于非标准的和高维问题的新型期权，虽然理论上存在着复杂的偏微分数学模型和对应的数学解析式，但很难得到有效的计算结果。从数学的角度讲，多标的资产期权定价问题就是求解一个高维的反抛物型方程具有不同的终值条件的定解问题，因此利用偏微分方程从理论上可以求出高维期权的Black-Scholes方程和相应的布莱克-斯科尔斯的公式，然而对于这样一个被积函数带有奇性的多重积分的计算仍然是一个很困难的问题。同时，期权定价的传统的数值方法如树图法，有限差分法等，对于高维期权等复杂衍生证券这些传统的数值方法受到很大限制，难以有效地实施。本文鉴于数学解析方法和传统的数值方法对多标的资产期权定价问题的困难，用蒙特卡罗模拟方法来对高维期权进行定价[6]。
二、多标的资产价格的随机过程分析
多标的资产价格的随机演化过程可以认为是单标的资产价格随机过程推广到多维情形的，基于多个一般的单标的资产价格的随机微分方程，利用Ito定理[7]推导多标的资产价格行为的随机微分方程。
（一）构造多标的资产价格的随机微分方程模型
基本假设1：对每个标的资产价格 ，满足一般的单标的资产价格行为的随机微分方程[9]：
（1）
其中， 为标的资产 的价格， 为其预期收益率， 是其波动率； ， 均为常量； 为标准一维布朗运动即维纳过程。
基本假设2：多标的资产价格之间存在相关性，这种相关性表现为 。由于实际中，各个标的资产之间必然存在一定的相关性，因此这个假设是合理并且是必要的。
基本假设3：其他满足经典Black-Scholes模型的所有假设[10]。基于以上假设，下面给出多标的资产价格随机微分方程模型的推导过程。
首先，将随机微分方程组即（1）式描述成矩阵形式为：
（一） 蒙特卡罗模拟多标的资产欧式期权的随机模型
利用到期日多标的资产价格的随机过程公式（15），可以对高维欧式期权进行模拟定价，现在对高维欧式期权中的欧式一揽子期权给出蒙特卡罗定价的随机模型。
设 为第 次模拟的期权价格，也即是第 条样本路径的期权价格终值， 为第 次模拟时的期权的到期日收益， 为模拟的总次数或样本路径数目， 为第 次模拟的各个标的资产到期日的价格， 为各个标的资产的数量， 为到期日执行价格，
从图形可以看出，随着模拟次数的增加，模拟误差整体趋势减少，但也有较大波动，说明伪蒙特卡罗模拟的误差不会因为次数增加而严格递减，原因在于伪随机数的分布不很均匀和估计存在一定的方差。另外，随着模拟次数的增加，估计的区间大小在逐渐变小，并且区间缩小的幅度减少，说明模拟次数越多，估计精度和可靠性越高。如果给定一个模拟的精度，就可以确定模拟的次数，从而提高模拟效率。
五、结束语
多标的资产期权定价的关键问题在于确定相关性的多标的资产价格行为的演化过程，利用多维布朗运动和伊藤定理，可以推导出具有相关性的多标的资产价格行为的随机微分方程，进而可以推导期权在有效期内各个时间点上的收益函数。在此基础上，构造蒙特卡罗模拟的随机模型。本文重点推导了多标的资产价格的随机微分方程模型和离散随机过程公式，从而为高维期权定价无论欧式还是美式的奠定了数学基础。
从多标的价格的随机微分方程模型的推导过程来看，充分利用多标的资产价格的相关性，对协方差矩阵进行分解，进而构造满足多维布朗运动的随机向量，由此可知，随机模型的模拟实际价格的效果，在很大程度上取决于协方差矩阵，该矩阵实际上包括两方面的参数，即标的资产的预期收益率和相关系数。因此实际模拟结果，跟这两方面的参数有很大关系，能否适当地估计标的资产的预期收益率和它们之间的相关系数，是影响蒙特卡罗模拟多标的资产期权定价的一个重要因素。实际中这两个参数是动态变化的，如果能够基于一般参数过程来模拟，效果应该更佳。
蒙特卡罗模拟结果表明，对于高维欧式期权定价问题不失为一种有效的数值分析方法。但蒙特卡罗模拟效果不仅取决于随机模拟路径的构造，还有高维随机数的质量（分布均匀性）和估计方差。因此，如何构造更合理的随机过程、选择分布均匀性更好的高维随机数和运用减少方差的方法，对于提高蒙特卡罗模拟效果具有重要的意义，也是蒙特卡罗算法进一步优化改进的重要方向。
参考文献
[1]王剑君.标的资产服从混合过程的二种新型期权的定价[J].经济数学,2010,27(1):61-66.
[2]陈俊霞,蹇明.标的资产服从几何分数布朗运动的期权定价[J].经济数学, 2006,23(3):252-255.
[3]扈文秀,刘相芳,尹海员.不可交易标的资产的实物期权定价方法[J].系统工程, 2005 (2) :
[4]马超群,陈牡妙.标的资产服从混合过程的期权定价模型[J].系统工程理论与实践,1999(4):
[5]吴志刚,金朝嵩.标的股价服从混合过程的期权定价公式及有限元算法[J]. 经济数学, 2002,19(2): 28-31
[6]Boyle.P.P.Options:A Monte Carlo approach[J].Journal of Financial Econometrics 1977,4:323-338.
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[13]Berman, L. Accelerating Monte Carlo: quasi random sequences and variance reduction [J] .Journal of Computational Finance.1997, 1:79-95.